Як багато простих там?

Зміст:

1. Вступ: Запітувана правильне харчування
2. Теореми про Прості числа
3. Історії З теореми про Прості Числа и інших наближення Числа Пі ( х )
4. Є Кращі оцінкі!

  
1. Вступ: Запропонована правильне харчування

Більш 2300 РОКІВ того Евклід довів, Що число простих чисел нескінченно, так Що два можливости харчування припадає на мнение:

1. Скількі простих чисел є менше, Ніж число х?
2. Є нескінченно Багато простих, альо наскількі велика нескінченності?

Цей документ буде зосереджено на перше питання. Друге питання обговорювалося на сторінці " Як великий з Infinity? ».

1.1. Пі ( х ) є число простих чисел, менших постановочні рівніх х

Нехай х одержати позитивні дійсне число. На питання "скількі простих чисел, ЩО НЕ перевищують х ? " Було запропонованих настількі часто, Що Його Відповідь має ім'я:

= р ( х ) = кількість простих чисел, менших постановочні рівніх х ​​.

Простих чисел до 25 РОКІВ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23 так пі (3) = 2, р (10) = 4 и р (25) = 9. (Більше табліці можна знайте в Наступний підрозділі ). Подівіться на Наступний графік и зверніть УВАГА, Як нерегулярно графік пі ( х ) ДЛЯ малих значень х .

Тепер резервного копіювання и Перегляд більшої Частина графіка пі ( х ).

Тому, навіть ЯКЩО пі ( х ) є "локально" нерегулярні, є певна тенденція до Його цінностям. ( Графік до 1000000 ).

У цьому документі ми будемо вівчаті функції р ( х ), теореми про Прості числа (які кількісно ця тенденція) i кілька класичних наближення до р ( х ).

Таблиця 1. Значення числа Пі ( х )

	х	р ( х )	посилання
1	10	4
2	100	25
3	1000	168
4	10000	1229
5	100000	9592
6	1000000	78498
7	10000000	664579
8	100000000	5761455
9	1000000000	50847534
10	10000000000	455052511
11	+100000000000	4118054813
12	1,000,000,000,000	37607912018
13	10.000.000.000.000	+346065536839
14	100.000.000.000.000	3.204.941.750.802	[ LMO85 ]
15	1.000.000.000.000.000	29.844.570.422.669	[ LMO85 ]
16	10.000.000.000.000.000	279.238.341.033.925	[ LMO85 ]
17	100.000.000.000.000.000	2.623.557.157.654.233	[ DR96 ]
18	1.000.000.000.000.000.000	24.739.954.287.740.860	[ DR96 ]
19	10.000.000.000.000.000.000	234.057.667.276.344.607
20	100.000.000.000.000.000.000	2.220.819.602.560.918.840
21	1.000.000.000.000.000.000.000	21.127.269.486.018.731.928
22	10.000.000.000.000.000.000.000	201.467.286.689.315.906.290
23	100.000.000.000.000.000.000.000	1.925.320.391.606.803.968.923
24	1.000.000.000.000.000.000.000.000	18.435.599.767.349.200.867.866	( до відома )

1.2. Таблиця значень числа Пі ( х )

ДЛЯ менших значень х В Цій табліці (скажімо, до 10 млрд) значення числа Пі ( х ) Може буті знайденій шляхом Поиск и підрахунку Всіх простих чисел. 

Перед Століття комп'ютерів Багато математики формують табліці простих чисел. Найбільш Поширення БУВ табліці DN Лемера простих чисел в 10006721 [ Lehmer14 ]. Самим дивної Було таблиці Кулик завершено в 1867 году. Біля Цій табліці перераховані Фактори найменшого ціліх чисел (звідсі и ВСІ Прості числа ) до 100 330 200!

У Meissel 1870-х роках розробив Хитрий спосіб обчислення Пі ( х ) далеко за межами відоміх Таблиця простих чисел, и в 1885 (Трохи неправильно), розрахована пі (10 ⁺⁹ ). Методи Meissel булі спрощені DH Лемера в 1959 году і потім в 1985 году Покращена за допомог сита методи по Лагаріасом Міллер и Одліжко [ LMO85 ].

У 1994 году Deléglise и Ріва [ DR96 ] удосконалів техніку галі раз, щоб знайте значення Р (10 ⁺¹⁷ ) i р (10 ⁺¹⁸ ). Deléglise продовжував Цю роботу з поліпшенім алгоритмом, щоб знайте пі (10 ⁺²⁰ ) та інших цінностей (дів. Його Повідомлення Електронної пошта від 18 квітня +1996 и 19 червня 1996 ). Дів Riesel94 для практичної інформації про ті, Як ці розрахунків.

Проект розподіленіх обчисления Xavier Gourdon, обумовленої пі (4 * 10 ⁺²² ),
альо зупінівся, коли смороду віявілі Помилка прінаймні ОДИН В розрахунку Числа Пі (10 ⁺²³ ). Томас Олівейра-і-Сільва має Значення обшірні табліці Числа Пі ( х ) и р ₂ ( х ). Біля 2007 году ВІН Переоцінка пі (10 ⁺²³ ), щоб Отримати значення в табліці. Цей розрахунок БУВ зробленій на одній машіні и перевірені в 2008 году.

Значення, вказаніх в червоний р (10 ⁺²⁴ ) Було Знайда аналітічніх методів пріпускаючі, Що недоведені гіпотезі Рімана Дж. Buethe, Дж. Франке, А. Йост, Т. Kleinjung. Їх метод "схожа на опис на Лагаріасом и Одліжко, альо вікорістовує Weil явну формулу Замість складаний інтегралів крівої" (дів. їх по електронній пошті оголошує результат ліпні У 2010 року).

---

  
2. Теореми про Прості числа: апроксімуючіх р ( х )

Незважаючі на ті, розподілу простих чисел Здається Випадкове (тобто (ймовірно) нескінченно Багато близнюків и є (виразно) як завгодно Великі проміжкі Між штрихами), функція р ( х ) на диво добрі собі веде: Насправді, Це Була доведена (див. Наступний Розділ ), Що:

Теореми про Прості числа: число простих чисел, ЩО НЕ перевищують х
Е асимптотическим ДЛЯ х / Журнал х .

З точки зору пі ( х ) мі повінні напісаті:

Теореми про Прості числа: р ( х ) ~ х / Журнал х .

Це означає, Що (грубо Кажучи), ЩО х / Журнал х Е хорошим наближення ДЛЯ Пі ( х ) - альо, дере Ніж мі розглянемо ці та Інші Наслідки дозволяє буті більш конкретним:

" ( х ) Е асимптотическим ДЛЯ Б ( х ) "і" ( х ) ~ B ( X ) "і означає, Що межа ( х прямує ДО нескінченності) Відносини ( х ) / Ь ( х ) дорівнює 1.

ЯКЩО у вас Не було обчісленні, то Це означає, Що ві можете Зробити ( х ) / б ( х ) якомога Ближче до 1, Як Ві хочете, Тільки вімагаючі, щоб х Досить великі. Попередження: ( х )  ~  Ь ( х ) зовсім НЕ означає, Що ( х ) - Ь ( х ) мало! Наприклад, х ²
Е асімптотічної х ² - х, альо різніця Між ними,
х, отрімує Як завгодно великим, Як х, Що прагнем до нескінченності.

Слідство один: Ві можете Пріблізна пі ( х ) З х / (журналу
х - 1)

Таблиця 2. Пі ( х ) вірша х / Журнал х

х	р ( х )	х / Журнал х	х / (вхід х -1)
1000	168	145	169
10000	1229	1086	1218
100000	9592	8686	9512
1000000	78498	72382	78030
10000000	664579	620420	661459
100000000	5761455	5428681	5740304

Теореми про Прості числа явно має на увазі, ЩО ВИ можете вікорістовуваті х / (вхід х
- ) (з будь констант ) для наближення Пі ( х ). теореми про Прості числа Було зазначено, з = 0, ало Було показано, Що = 1 є Кращим Вибори:

Е Більше таблиці ніжче і (пі (х) Тільки) Вище .

Приклад: Хтось недавно по електронній пошті мені и попросивши Підтримка список Всіх
простих чисел З НЕ Більше 300 знаків. Так Як теореми про Прості числа увазі цею список буде мати близьким 1,4 * 10 ²⁹⁷ запісів мі знаємо, Що не Може буті такого списку!

Зверніть Увага, Що П'єр Dusart [ Dusart99 ] показавши, ЩО ЯКЩО х > 598, то

(x/log x)(1 + 0.992/log x) < pi(x) <(x/log x)(1 + 1.2762/log x)

(Верхня Межа Для всіх х > 1). ЦЄ Дає оцінку точно для великими х . Примітка х / Журнал х < р ( х ) ДЛЯ х
> 10.

Слідство два: п -го Прем'єр-про П журналі П

Нехай р ( п ) Е П Е просто. Легко показати, Що простих чисел еквівалентно заявив

Theorem: p(n) ~ n log n

[Дів Харді и Райт, стор 10]. Краще Оцінка

Theorem: p(n) ~ n (log n + log log n - 1)

[Дів Ribenboim95, с. 249].

Приклад: Ці формули пророкують, Що однотісячному-ТИСЯЧНА Прем'єр складає близьким 13800000 15400000 и відповідно. Біля самому справі, однотісячні-ТИСЯЧНА є Прем'єр-15485863.

Там Було Багато поліпшень на ці оцінкі, Наприклад, Робін [ Robin83 ] показавши, ЩО ЯКЩО П > 8601 [насправді Робін помилковості вікорістовується 7021], а потім

n (log n + log log n - 1.0073) < p(n) < n (log n + log log n - 0.9385)

Зовсім недавно Massias и Робін [ MR96 ] показавши, ЩО ЯКЩО П > 15985, то

p(n) < n (log n + log log n - 0.9427)

и ЯКЩО П > 13, то

p(n) < n (log n + log log n - 1 + 1.8 log log n / log n)

(Що кращє ДЛЯ великими П ). П'єр Dusart [ Dusart99 ] зроб ці результати сільніше и показавши,

p(n) > n (log n + log log n - 1)

Для всіх П . Стаття Dusart кож Дає Кращі оцінкі стають галі Ближче ДО Черговий Термін В Наступний відомі Асимптотичні розкладання ДЛЯ р _н . Перші члени цієї асимптотики булі дані Чіполла [ Cipolla1902 ] в 1902 году:

p(n) = n (log n + log log n - 1 + (log log (n) - 2)/log n -

                        ((log log (n))2 - 6 log log (n) + 11)/(2 log2 n) + O((log log n / log n)3))

Знову Ribenboim95 и Riesel94
є відмінною відправною Місця для Поиск додаткової інформації. до речі, ЯКЩО ВИ зацікавлені В П Е просто для невеликих П (скажімо, менш 1.000.000.000), а потім вікорістовуваті П -го Прем'єр-сторінку ".

Наслідком три: ймовірність Випадкове цілого х Е Прем'єр-про 1/log х

Нехай х ціле одержати позитивні число. Оскількі близьким х / Журнал х З х
натуральних чисел менше постановочні дорівнює х е просто, то ймовірність одного з них Прем'єр-про 1/log х .

Приклад: . Пріпустімо, я хочу, щоб знайте в 1000 Цифра Прем'єр ЯКЩО я Вибирай 1000 значних чисел х, щоб перевіріті На простоту
навмання, то я б очікуваті, щоб перевіріті про журнал (10 ¹⁰⁰⁰ ) з них, або близьким 2302 ціліх чисел, дере Ніж знайте просте число. Очевидно, Що ЯКЩО я непарні числа я МіГ бі помножіті Цю оцінку на 1/2, и ЯКЩО я Вибирай цілі числа, не діліться на 3, то я МіГ бі помножіті на 2/3, .. .

Ще один спосіб сказаті, Що це, Що щільність простих чисел, менших х про 1/log х . Ніжче наведено графік фактічної щільності ПРИ малих значеннях х .

  
3. Історія теореми про Прості числа

У 1798 году Лежандр опублікував Перші значні гіпотеза про Розмір р ( х ), коли в своїй Книзі Essai сюр-ла-де-Théie Nombres ВІН заявивши,

Лежандра:

pi(x) is approximately x/(log x - 1.08366)

Ясно, Що гіпотеза Лежандра еквівалентно теореми про Прості числа, константа 1,08366 Була засновалося на Його обмежені табліці значення числа Пі ( х ) (Який Тільки Пішов В х = 400,000). Біля довгостроковій перспектіві 1 Е Вибори Кращим, Ніж Лежандра 1,08366 .

Гаусс БУВ кож Вивчення Прем'єр-таблиця и придумали Різні оцінкі (можливо, Вперше розглянуто в 1791), повідомляється в лісті Енке в 1849 году и Вперше опублікованій в 1863 году.

Гаусс:

pi(x) is approximately Li(x) (the principal value of integral of 1/log u from u=0 to u=x).

Зверніть Увага галі раз, Що гіпотеза Гаусса еквівалентно теореми про Прості числа. Давайте порівняємо ці оцінкі:

Таблиця 3. Порівняння наближення до рг (х)

х	р ( х )	Гаусса Li	Лежандр	х / (журналу х - 1)	R ( X )
1000	168	178	172	169	168,4
10000	1229	1246	1231	1218	1226,9
100000	9592	9630	9588	9512	9587,4
1000000	78498	78628	78534	78030	78527,4
10000000	664579	664918	665138	661459	664667,4
100000000	5761455	5762209	5769341	5740304	5761551,9
1000000000	50847534	50849235	50917519	50701542	50847455,4
10000000000	455052511	455055614	455743004	454011971	455050683,3

У Цій табліці Li Гауса ( х ) Завжди Більше, Ніж р ( х ), Це справедливо Для всіх малих х > 2. Однак у 1914 году Літтлвуда довели, Що р ( х )-Li ( х ) пріймає Як Позитивні, так и негатівні Значення нескінченне число разів. Біля 1986 году Te Riele показавши тобто Більше 10 ¹⁸⁰
послідовніх ціліх чисел х, для якіх р ( х )> Li ( х ) Між 6,62 ^. +10 ³⁷⁰
та 6,69 ^. +10 ³⁷⁰ .

Чебішева зроб Перший реальний прогрес у доведенні теореми про Прості числа в 1850 году, показавши існують Позитивні постійні < 1 < Б такий, Що

a(x/log x) < pi(x) < b(x/log x)

и Що , ЯКЩО р ( х ) / (х / Журнал х) Було меж, то Його Значення винне буті Одне. Сильвестр в 1982 году уточнень метод Чебішева и показавши, Що ми можемо вікорістовуваті = 0,95695 и Б = 1,04423, ЯКЩО х Досить великі. (У 1962 году Було показано, Що ми можемо вікорістовуваті = 1 Для всіх х
> 10 [ RS62 ].)

Нарешті, в 1896 р. Адамар и Незалежності Валле Пуссена повністю доведені теореми про Прості Числа Використання роботам Рімана, Що стосуються пі ( х ) до складаний дзета-функції.  де ла Валле Пуссен довів кож, Що Li Гауса ( х ) є Кращим наближення до р ( х ), Ніж х / (журналу х
- ) Незалежності від того, його призначення та Значення прісвоюється Постійний (а кож, ЩО Найкраще значення для дорівнює 1). Набагато кращє наближення, Ніж будь-яка з них є функція Рімана [ Ribenboim91,
Riesel94 ].

У 1949 Атле Сельберг [ Selberg49 ] и Павла Ердеша [ Erdös49 ] Незалежності один від одного дали перше елементарних доказ теореми про Прості числа - вісь елементарні засоби НЕ вікорістовуються Сучасні комплексного аналізу - насправді їх Дуже Важко докази лягли читать (альо Менш елементарні) доказ у тексті Харді и Райта [ HW79 секти. 22.15-16].

Нарешті, коли Адамар и Валле-Пуссена довів теореми про Прості Числа, смороду Фактично показали,

для деякої позітівної Константи . Помилка Термін поклади від того, Що Було відомо про нульовий Безкоштовна області дзета-функція Рімана в крітічній Смузі. Як Наші знання про Розмір цього регіону збільшується, залішковій член зменшується. Біля 1901 году фон Кох показавши, ЩО гіпотеза Рімана еквівалентна далеко жорсткі оцінкі:

   4. Більш точні оцінкі

Ця сторінка зосереджено на простих чисел в ньому просту форму, альо є набагато Кращі оцінкі р ( х ). Щоб вірізаті в погоню, дзета-функція Рімана являє собою спосіб дати точну формулу для р ( х ) підсумовуванням по нетрівіальні нулі дзета-функції (у порядком зростання).

(На простих чисел, графік пі ( х ) робіть крок однієї одініці, ця формула approches значення в середіні цього кроки). Перший (і домінуючіх) Термін Вище, назівається функція Рімана R ( X ).

Остання форма Вище для R ( х ) є ряд Грем и є відміннім способом для обчислення цієї функції. Графік праворуч показує, наскількі близьким от approximaton R ( х ) є, навіть ПРИ малих значеннях х . галі кращє ДЛЯ малих х віглядає Наступний чином (смороду В основному однакові ДЛЯ великими х ).

Щоб оцініті, наскількі близьким от наближення ці см.
вражаючі табліці відхілень
Андрій Kulsha.

Меттью Р. Уоткінс кож має красиву Розвиток и цієї інформації відмінні анімації.

---

Інший
Прем'єр-сторінці за Кріса К. Колдуелл < caldwell@utm.edu >